在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1/2BC．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点， 求证：AE⊥EB．

题目

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=

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BC．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，
求证：AE⊥EB．

答案

证明：过E作EF∥BC交BD于F．
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=135°，∠DFE=∠DBC=45°，
∴∠EFB=135°．
又EF=

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BC，EF∥BC，AC=

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BC，
∴EF=AC，CE=FB．
∴△EFB≌△ACE．
∴∠CEA=∠DBE．
又∵∠DBE+∠DEB=90°，
∴∠DEB+∠CEA=90°．
故∠AEB=90°．
∴AE⊥EB．

要证明AE⊥BE，只要证明∠AEB是直角即可，当∠AEB=90°时，∠AEC+∠DEB=90°．又因为∠DBE+∠DEB=90°，那么要证明AE⊥EB，只要证明∠AEC=∠DBE即可．那么我们可通过构建全等三角形来实现．过E作EF∥BC交BD于F，∠DEF=∠DCB=45°．根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么EF=

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BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现∠ACE=∠BFE=90°+45°=135°，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了．∠AEC=∠DBE．

本题考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出线段和角相等是解此类题的关键．