已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,过A（a,0）B(0,-b)

题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,过A（a,0）B(0,-b)
的直线到原点的距离是五分之四倍根号五,
1.求椭圆的方程.
2.已知直线y=kx+1(k≠0)交椭圆于不同两点E,F都在以B为圆心上的圆上,
求K的值.

答案

用截距式设出直线方程x/a+y/(-b)=1
由点到直线的距离公式得1/(根号下1/a^2+1/b^2)=五分之四倍根号五
1/a^2+1/b^2=5/4
e=c/a=√3/2
c^2=a^2-b^2
a^2=4
b^2=1
椭圆方程为x^2/4+y^2=1
2,因为直线过（0.,1）点,且这点在椭圆上
所以E,F中有一个是（0,1）点
而且此圆的半径为B和（0,1）点的距离,为2
y=kx+1
x^2/4+y^2=1
由韦达定理和（0,1）点可把另一点的坐标求出
（-8k/(4k^2+1),(1-4k^2)/(1+4k^2）
此点到（0,—1）的距离为2
解得k=土√2//2