求∮L au/an ds,其中u(x.y)=x^2+y^2,L为圆周x^2+y^2=6x取逆时针方向,au/an是u沿L的外法线方向导数.

题目

求∮L au/an ds,其中u(x.y)=x^2+y^2,L为圆周x^2+y^2=6x取逆时针方向,au/an是u沿L的外法线方向导数.

答案

根据格林公式：
∮(∂u/∂n)ds=∫∫(D)2(x+y)dxdy=4∫∫(D)xdxdy=4∫(0,π/2)cosθdθ∫(0,6cosθ)r^2dr
=4×6×6×6/3∫(0,π/2)(cosθ)^4dθ=4×6×6×2×(3/4)×(1/2)×(π/2)=54π