等边三角形ABC边长为a,在三角形内部取一点O,作OD垂直AB,OE垂直BC,OF垂直CA,

题目

等边三角形ABC边长为a,在三角形内部取一点O,作OD垂直AB,OE垂直BC,OF垂直CA,
求证
AD+BE+CF=3a/2

答案

以BC为x轴,中点为原点,BC上的高为y轴建立坐标系
B（-a/2,0）C(a/2,0) A(0,√3a/2)
设O点坐标为(m,n)
OD的直线方程为
（y-n）/(x-m)=-√3/3
A到OD的距离
=AD=3a/4-√3n/2-m/2
同理可求
C到OF的距离
=CF=a/4+√3n/2-m/2
BE=m+a/2
AD+BE+CF
=3a/4-√3n/2-m/2+a/4+√3n/2-m/2+m+a/2
=3a/2