已知函数f（x）=2x-4x （1）求f（x）的值域 （2）解不等式f（x）＞16-9×2x． （3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．

题目

已知函数f（x）=2^x-4^x
（1）求f（x）的值域
（2）解不等式f（x）＞16-9×2^x．
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．

答案

（1）令t=2x，则t＞0，所以原函数转化为y=t-t2=-（t-12）2+14在（0，12）上为增函数，在（12，+∞）上是减函数，∴y≤14，f（x）的值域（-∞，14]．（2）因为f（x）＞16-9×2x⇒（2x）2-10×2x+16＜0⇒（2x-2）（2x-...

（1）令t=2^x，把问题转化为二次函数在固定区间上求值域即可．
（2）解关于2^x的一元二次不等式即可．
（3）令t=2^x，转化为求y=t-t²在t∈[

1

2

，2]上的值域即可．

本题考点：指数函数综合题；函数的零点与方程根的关系．

考点点评：本题是对二次函数知识的综合考查．既有二次不等式的解法，又有二次函数在固定区间上求值域问题，是一道好题．