已知函数fx=x∧3-3x∧2-9x a 求函数fx的极值 若fx在R上有且仅有一个零点求a的取值范围
题目
已知函数fx=x∧3-3x∧2-9x a 求函数fx的极值 若fx在R上有且仅有一个零点求a的取值范围
fx=x∧3-3x∧2-9x+a
答案
(1)f'(x)=3x^2-6x-9
=3(x^2-2x-3)
=3(x-3)(x+1)
令f'(x)=0得x1=-1,x2=3
列表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 增 极大值 减 极小值 增
f(x)极大值=f(-1)=-1-3+9+a=5+a
f(x)极小值=f(3)=27-27-27=-27+a
(2)
若f(x)在R上有唯一零点
由(1)则需
f(x)极大值0
即5+a0
解得a的取值范围a27
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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