如图所示,I为△ABC三条角平分线的交点,且AC+AI=BC.若∠BAC=90°求证①∠ABC的度数②∠AIB的度数.

题目

如图所示,I为△ABC三条角平分线的交点,且AC+AI=BC.若∠BAC=90°求证①∠ABC的度数②∠AIB的度数.
ABC为直角三角形,I在三角形内部,

答案

在BC上取一点D,使CD=AC
由于I是内心（内心就是三条角平分线交点,会出现一些全等）
所以△AIC≌△DIC
∠IDC=∠IAC=1/2∠BAC=40
因为CA+AI=BC
所以CD+DI=BC
得BD=DI
则∠ABC=2∠IBD=∠IDC=40
第二问的话就艰难一些：作ID⊥AC与D,IE⊥BC与E,IF⊥AB与F
因为I是三角形内心,
所以AD=AF,CD=CE,BE=BF
AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI
=BC=CE+BE
所以AF+AI=BE
在线段BF上取点O,使FO=AF
△AFI≌△OFI
所以∠EAB=∠IOA
AI=IO
IO+AF=IO+FO=BF
所以IO=BO
∠FBI=∠OIB=∠IBE=1/2∠EAB
AE=BE
∠ABE=45
∠AIB=112.5