在3sinx+cosx＝2a−3中，a的取值范围是_．

题目

在

3

sinx+cosx＝2a−3中，a的取值范围是______．

答案

∵

3

sinx+cosx＝2a−3，∵
∴

3

2

sinx+

1

2

cosx=a-

3

2

即sin（x+

π

6

）=a-

3

2

，
∵-1≤sin（x+

π

6

）≤1，
∴-1≤a-

3

2

≤1，
解得

1

2

≤a≤

5

2

故答案为：

1

2

≤a≤

5

2

由条件利用两角和的正弦公式可得sin（x+

π

6

）=a-

3

2

，再由-1≤sin（x+

π

6

）≤1，可得-1≤a-

3

2

≤1，解不等式求得a的取值范围．

本题考点：两角和与差的正弦函数．

考点点评：本题主要考查两角和的正弦公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．