初等数论同余问题

题目

初等数论同余问题
p为质数,0＜a＜p,证明x≡b×(-1)∧(a-1)×(p-1)···(p-a+1)／a!(mod p)是 同余式 ax≡b (mod p)的解

答案

题：p为质数,0＜a＜p,证：x≡b*(-1)^(a-1)*(p-1)*...*(p-a+1)／a!(mod p)是同余式 ax≡b (mod p)的解
证：
以下≡为便于打字也记成==
将x≡b*(-1)^(a-1)*(p-1)*...*(p-a+1)／a!代入ax mod p中得：
ax=b*(-1)^(a-1)*(p-1)*...*(p-a+1)／(a-1)!
=b*(1-p)*...*(a-1-p)／(a-1)!mod p
==b*1*...*(a-1)/(a-1)!
=b
得证.
备忘：下面的内容与上题的证明无关.
由wilson定理,(p-1)!==-1 mod p