如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于M,交DC于N. (1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式; (2)当
题目
如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于
M,交DC于N.
(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;
(2)当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?
答案
(1)连接ME,设MN交BE于P,根据题意,得
MB=ME,MN⊥BE.(2分)
过N作AB的垂线交AB于F.
在Rt△MBP中,∠MBP+∠BMN=90°,
在Rt△MNF中,∠FNM+∠BMN=90°,
∴∠MBP=∠MNF.
在Rt△EBA与Rt△MNF中,
∵AB=FN,
∴Rt△EBA≌Rt△MNF,故MF=AE=x.
在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=AB-AM=2-AM,
∴(2-AM)
2=x
2+AM
2.
4-4AM+AM
2=x
2+AM
2,即4-4AM=x
2,
解得AM=1-
x
2.(5分)
所以梯形ADNM的面积S=
×AD=
×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2(1-
x
2)+x
=-
x
2+x+2
即所求关系式为s=-
x
2+x+2.(8分)
(2)s=-
x
2+x+2=-
(x
2-2x+1)+
=-
(x-1)
2+
故当AE=x=1时,四边形ADNM的面积S的值最大,最大值是
.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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