设向量a,向量b是两个非零向量,如果（向量a+3倍向量b)⊥（7倍向量a-5倍向量b且（向量a-4倍向量b)⊥

题目

设向量a,向量b是两个非零向量,如果（向量a+3倍向量b)⊥（7倍向量a-5倍向量b且（向量a-4倍向量b)⊥
（7倍向量a-2倍向量b)则向量a和向量b的夹角为

答案

（1）
（向量a+3倍向量b)⊥（7倍向量a-5倍向量b）
以下省略向量符号
∴ (a+3b).(7a-5b)=0
∴ 7a²+16a.b-15b²=0 ①
（2）
（向量a-4倍向量b)⊥（7倍向量a-2倍向量b)
∴ (a-4b).(7a-2b)=0
∴ 7a²-30a.b+8b²=0 ②
①-②
46a.b-23b²=0
∴ b²=2a.b,代入①
∴ 7a²+8b²-15b²=0
∴ a²=b²
即 |a|=|b|
∴ cos
=a.b/|a|*|b|
=a.b/|b|²
=a.b/b²
=1/2
∴ a,b的夹角是60°