已知关于x的一元二次方程x2-（5m+1）x+4m2+m=0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；（3）抛物线y=

题目

已知关于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0．

（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；
（3）抛物线y=-x²+（5m+1）x-4m²-m与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE，如图，点C（0，-5），D（6，-5），E（6，0），当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移|h|个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）．

答案

（1）证明：△=[-（5m+1）]²-4×1×（4m²+m）
=9m²+6m+1
=（3m+1）²
∵（3m+1）²≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．
（2）解关于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0，
得 x₁=m，x₂=4m+1．
由题意得 

m＞3 4m+1＜8

或

m＜8 4m+1＞3

解得 

1

2

＜m＜8．
（3）h=5或-9＜h＜-4．
∵m取第（2）问中符合题意的最小整数是1，
∴抛物线的解析式是y=-x²+6x-5，
∴解析式y=-x²+6x-5的顶点为（3，4）
∵OC=ED=5，
∴抛物线向上移动5个单位长度正好经过O、E两点；

有2个交点，继续向上平移没有交点；
∴向下平移4个单位长度如图所示，

有3个交点；
∴当向下平移大于4个单位长度，如图所示，

有2个交点；
∴当继续移动的如图所示，

有一个交点；

（1）判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b²-4ac的值的符号就可以了．
（2）若方程x²+（5m+1）x+4m^2+m=0的两个实根一个大于3，另一个小于8，则解关于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0求得方程的两个根x₁，x₂，根据题意列出不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
（3）m取第（2）问中符合题意的最小整数是1，所以抛物线的解析式是y=-x²+6x-5顶点为（3，4）此时抛物线正好经过C、D两点，当抛物线向上平移5个单位抛物线正好经过O、E两点，当抛物线向下平移的顶点在矩形OCDE内有两个交点，即-4＜h＜-9．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．
根据已知条件结合一元二次方程根的个数与△的关系和韦达定理，构造关于m的不等式是解答的关键．