2道高数的题
题目
2道高数的题
1.作变量代换X=lnt简化方程d^2y/dx^2-dy/dx+ye^2x=0
2.利用函数的凹凸性,证明不等式：sin(x/2)>x/π（0
答案
1,X=lnt,那么dx=(1/t)dt,dt/dx=t
dy/dx=(dy/dt)/(dt/dx)=t(dy/dt)
d^2y/dx^2-dy/dx+ye^2x=0
d(dy/dx)/dx-dy/dx+ye^2x=0
d(t(dy/dt))/dx-t(dy/dt)+yt^2=0
t^2(d^2y/dt^2)+t(dy/dt)-t(dy/dt)+yt^2=0
t^2(d^2y/dt^2)+yt^2=0
(d^2y/dt^2)+y=0
2,设f(x)=sin(x/2)-x/π,（0
则f'(x)=(-1/4)sin(x/2)<0,（0
因此f(x)为上凸函数
设x=λ*0+（1-λ)*π,(0<λ<π)
那么根据上凸函数的性质,有
f(x)=f(λ*0+（1-λ)*π)>λf(0)+(1-λ)f(π)=0
因此sin(x/2)-x/π>0,（0
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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