在数列an中,a1=8,a2=2,且满足a(n+2)-4a(n+1)+3an=0.求an的通项公式?

题目

在数列an中,a1=8,a2=2,且满足a(n+2)-4a(n+1)+3an=0.求an的通项公式?

答案

a(n+2)-4a(n+1)+3an=0
a(n+2)-a(n+1)-3a(n+1)+3an=0
[a(n+2)-a(n+1)]-3[a(n+1)-an]=0
[a(n+2)-a(n+1)]=3[a(n+1)-an]
[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]=3,为定值.
a2-a1=2-8=-6
数列{a(n+1)-an}是以-6为首项,3为公比的等比数列.
a(n+1)-an=(-6)×3^(n-1)=-2×3ⁿ
an-a(n-1)=-2×3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=-2×3^(n-2)
…………
a2-a1=-6=-2×3
累加
an -a1=(-2)×[3+3²+...+3^(n-1)]=(-2)×3×[3^(n-1) -1]/(3-1)=3-3ⁿ
an=a1+3-3ⁿ=8+3-3ⁿ=11-3ⁿ
n=1时,a1=11-3=8 n=2时,a2=11-9=2,均满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=11-3ⁿ.