已知向量a=(sin(x+π2),sinx),b=(cosx,-sinx),函数f(x)=m(a•b+3sin2x),(m为正实数). (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)将函数f
题目
已知向量
=(sin(x+
),sinx),
=(cosx,-sinx),函数f(x)=m(
•
+
sin2x),(m为正实数).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移
个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x⊆[0,π]时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数.
答案
(1)
f(x)=m(•+sin2x)=m(sin(x+)cosx-sin 2x+)sin2x]=
m(cos2x-sin 2x+sin2x)=
2msin(2x+)…(2分)
由m>0知,函数f(x)的最小正周期T=π.(4分)
又
2kπ+≤2x+≤2kπ+,(k∈Z)
解得
kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z)..(5分)
所以函数的递减区间是:
[kπ+,kπ+],(k∈Z)(6分)
(2)横坐标扩大到原来的两倍,得
2msin(x+),
向右平移
个单位,得
2msin[(x-)+],
所以:g(x)=2msinx.…(7分)
由 0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m …(8分)
所以当0<m<
时,y=g(x)与y=1无交点
当m=
时,y=g(x)与y=1有唯一公共点
当m>
时,y=g(x)与y=1有两个公共点 …(12分)
(1)向量
=(sin(x+
),sinx),
=(cosx,-sinx),代入f(x)=m(
•
+
sin2x),利用二倍角公式两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式,求出它的周期,利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间即可.
(2)横坐标扩大到原来的两倍,得
2sin(x+),向右平移
个单位,得
2sin[(x−)+],从而可求g(x)的解析式,利用函数g(x)的最值结合图象即可得出答案.
平面向量的综合题;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
本题是基础题,考查向量的数量积,三角函数的周期以及单调增区间的求法,三角函数的图象的平移,是常考题型.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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