r=(√2)sinθ,r²=cos2θ所围的面积如何求?

题目

r=(√2)sinθ,r²=cos2θ所围的面积如何求?

答案

r=√2sinθ表示圆
圆心在点(√2/2,pi/2)处
半径为√2/2
r^2=cos2θ,表示双纽线
极角θ范围是[-pi,-3pi/4],[-pi/4,pi/4],[3pi/4,pi]
联立两方程,求得交点：(√2/2,pi/6),(√2/2,5pi/6)
定积分计算,被积表达式为1/2*(r(θ)^2)dθ
其中当θ在[0,pi/6]以及[5pi/6,pi]内时,r=r(θ)=√2sinθ；
当θ在[pi/6,pi/4]以及[3pi/4,5pi/6]内时,r=r(θ)=√ (cos2θ)
积分区间[0,pi/4]和[3pi/4,pi]
由于图形对称性,仅计算第一象限面积即可
所围成图形在第一象限面积为pi/12+(1-√3)/4
所以所求图形面积为pi/6+(1-√3)/2