1.已知f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x)=-f(x+2/3),f(-1)=1,f(0)=-2.求f(1)+f(2)+f(3).+f(2010)

题目

1.已知f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x)=-f(x+2/3),f(-1)=1,f(0)=-2.求f(1)+f(2)+f(3).+f(2010)

答案

f(x)=-f(x+2/3)
-f(x+2/3)=-[-f(x+2/3+2/3)]=f(x+4/3)
f(x+4/3)=-f(x+4/3+2/3)=-f(x+2)
推出f(x)=-f(x+2) 结果1
即f(x)+f(x+2)=0
推出f(x+1)+f（x+3）=0
对于任意x,f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=0
所以f(1)+f(2)+f(3).+f(2010)=f(1)+f(2)+0+0+……0=f(1)+f(2)
因为f（x）是偶函数f（1）=f（-1）=1
根据结果1 f(2)=-f(0)=2
所以原式=1+2=3