△ABC中，如果满足sinB（1+cosA）≥（2-cosB）sinA，则A的取值范围是_．

题目

△ABC中，如果满足sinB（1+cosA）≥（2-cosB）sinA，则A的取值范围是______．

答案

△ABC中，∵sinB（1+cosA）≥（2-cosB）sinA，sinB+sinBcosA+cosBsinA≥2sinA，
即sinB+sin（A+B）≥2sinA，∴sinB+sinC≥2sinA，再由正弦定理可得b+c≥a，故边a不是最大边，故A为锐角．
再利用和差化积公式可得 2sin

B+C

2

cos

B−C

2

≥2sinA，∴sinA≤2sin

B+C

2

=2sin（90°-

A

2

），
∴A≤90°-

A

2

，∴0＜A≤60°，
故答案为：（0，60°]．

由条件利用三角恒等变换求得sinB+sinC≥2sinA，再由正弦定理可得b+c≥a，故边a不是最大边，故A为锐角．再利用和差化积公式求得sinA≤2sin（90°-

A

2

），可得 A≤90°-

A

2

，从而求得A的范围．

本题考点：余弦定理；正弦定理．

考点点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角恒等变换，属于基础题．