求证:函数f(x)=x^3 +x在区间(-∞,+∞)上是增函数 设值,作差,变形,判符,定论.
题目
求证:函数f(x)=x^3 +x在区间(-∞,+∞)上是增函数 设值,作差,变形,判符,定论.
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答案
【设值】任取x1、x2∈R,且x1<x2
【作差】 f(x2)-f(x1)
【变形】=(x2)³+x2-(x1)³-x1
=(x2)³-(x1)³+(x2-x1)
=(x2-x1)[(x2)²+x1x2+(x1)²]+(x2-x1)
=(x2-x1)[(x2)²+x1x2+(x1)²+1]
【判符】因为x2>x1
所以x2-x1>0
(x2)²+x1x2+(x1)²+1=1/2[(x2)²+2x1x2+(x1)²]+(x2)²/2+(x1)²/2+1>1
故f(x2)-f(x1)>0
即f(x2)>f(x1)
【定论】故函数f(x)=x^3 +x在区间(-∞,+∞)上是增函数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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