高二数学∶已知圆C经过点A（‐2,0）B（0,2）,且圆心C在Y＝X上,又与直线Y＝KX+1与圆C相交于P,Q两点（1）求圆C的方程；（2）过点（0,1）作直线L’与L垂直,且直线L’与圆C交于M,N

题目

高二数学∶已知圆C经过点A（‐2,0）B（0,2）,且圆心C在Y＝X上,又与直线Y＝KX+1与圆C相交于P,Q两点（1）求圆C的方程；（2）过点（0,1）作直线L’与L垂直,且直线L’与圆C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值

答案

1）设圆的方程为
x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆心C在直线y=x上
∴D=E
将点A（-2,0）,B（0,2）代入
4-2D+F=0
4+2D+F=0
解得：F=-4,D=E=0
∴圆的方程为x²+y²=4
设直线l:y=kx+1的参数方程为
｛x=tcosθ,y=1+tsinθ (θ为倾斜角）
代入x²+y²=4
t²cos²θ+(1+tsinθ)²=4
即t²+2tsinθ-3=0
设l与圆交点P,Q对应的参数分别为
t1,t2,那么t1+t2=-2sinθ,t1t2=-3
∴|AB|=|t1-t2|=√[(t1+t2)²-4t1t2]
=√[4sin²θ+12]
∵l1⊥l2
l1的参数方程为
{x=tcos(θ+π/2),y=1+tsin(θ+π/2)
设l1与圆交点M,N对应的参数分别为t3,t4
∴
同理得到
|CD|=√[4sin²(θ+π/2)+12]=√[4cos²θ+12]
四边形PMQN面积
S=1/2*|AB|*|CD|
=2√[(sin²θ+3)(cos²θ+3)]
=2√(sin²θcos²θ+12)
=2√[(sin2θ)/4+12]
≤2√(49/4)=7
当sin2θ=1,θ=45º时,S取得最大值7