如图,已知在直角三角形ABC中,∠BCA=90°,cos∠BAC=4/5,分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ADB和等腰三角形CEA,且AD⊥AC,AE⊥AB,连接DE,交AB于点
题目
如图,已知在直角三角形ABC中,∠BCA=90°,
cos∠BAC=,分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ADB和等腰三角形CEA,且AD⊥AC,AE⊥AB,连接DE,交AB于点F,
(1)求
S△ADB |
S△AEC |
答案
证明:(1)∵AD⊥AC,AE⊥AB,
∴∠DAC=∠BAE=90°,
∴∠DAB=∠EAC,
∵AD=BD,AE=EC,
∴∠DAB=∠DBA,∠ECA=∠EAC,
∴∠DBA=∠ECA,
∴△ADB∽△AEC,
∴
=
()2,
∵∠BCA=90°,
cos∠BAC==
,
∴
=
;
(2)过点E作EH⊥AC,延长交AB于G,连接DG,
∵AE=EC,
∴AH=CH,EH⊥AC,
∵∠BCA=90°,
∴GH∥BC,
∴AG=BG,
∵AD=BD,
∴DG⊥AB,
∵AD⊥AC,AE⊥AB,
∴GE∥AD,DG∥AE,
∴四边形ADGE是平行四边形,
∴AF=GF,
∴
=.
(1)先根据∠DAC=∠BAE=90°,得出∠DAB=∠EAC,再根据AD=BD,AE=EC,得出∠DBA=∠ECA,从而证出△ADB∽△AEC,得出
=
()2,最后根据
cos∠BAC==
,即可求出
的值;
(2)先过点E作EH⊥AC,延长交AB于G,连接DG,得出AH=CH,EH⊥AC,根据∠BCA=90°,证出GH∥BC,AG=BG,再根据AD=BD,得出DG⊥AB,最后根据AD⊥AC,AE⊥AB,得出GE∥AD,DG∥AE,
从而证出四边形ADGE是平行四边形,得出AF=GF,即可求出答案.
相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形;平行四边形的判定与性质;解直角三角形.
此题考查了相似三角形的判定与性质,用到的知识点是等腰三角形的性质,平行四边形的判定与性质和解直角三角形,解题的关键是根据相似三角形的判定证出△ADB∽△AEC.
举一反三
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