如图,在△ABC中,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值.
题目
如图,在△ABC中,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值.
答案
∵四边形EFPQ是矩形,∴EF∥QP∴△AEF∽△ABC又∵AD⊥BC,∴AH⊥EF;∴AH:AD=EF:BC;∵BC=10,高AD=8,∴AH:8=x:10,∴AH=45x∴EQ=HD=AD-AH=8-45x,∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8-45x)=-45x2+8x=-45(x-5)2+20,∵-...
易证得△AEF∽△ABC,而AH、AD是两个三角形的对应高,EF、BC是对应边,则AH:AD=EF:BC,由此得证;要转化为函数的最值问题来求解;由AH=
x,进而可得到HD(即FP)的表达式;已求得了矩形的长和宽,即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式,根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值.
相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;矩形的性质.
本题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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