正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？

题目

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？

答案

设BM=x，则MC=4-x，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则

AB

MC

=

BM

CN

，即

4

4−x

=

x

CN

，
解得：CN=

x(4−x)

4

，
∴S_{四边形ABCN}=

1

2

×4×[4+

x(4−x)

4

]=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∵0≤x≤4，
∴当x=2时，S_{四边形ABCN}最大．
即当BM的长为2时，四边形ABCN的面积最大．