如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．

题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．

答案

证明：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴DA=DB，
∴点D在AB的垂直平分线上．

根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，根据角平分线的定义求出∠ABD=30°，从而得到∠A=∠ABD，再根据等角对等边的性质可得DA=DB，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上即可得证．

本题考点：线段垂直平分线的性质．

考点点评：本题考查了线段垂直平分线的判定，以及直角三角形的性质，角平分线的定义，比较简单．