如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,求证:AB-AC>PB-PC.
题目
如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,求证:AB-AC>PB-PC.
答案
证明:如图,在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△AEP和△ACP中,
,
∴△AEP≌△ACP(SAS),
∴PE=PC,
在△PBE中,BE>PB-PE
即AB-AC>PB-PC.
在AB上取AE=AC,然后证明△AEP和△ACP全等,根据全等三角形对应边相等得到PC=PE,再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可.
全等三角形的判定与性质;三角形三边关系.
本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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