已知f（x）是奇函数,且x=1是f（x）对称轴,f（1）=2009,则f（2009）=

题目

已知f（x）是奇函数,且x=1是f（x）对称轴,f（1）=2009,则f（2009）=

答案

答案:2009
因为x=1是对称轴,所以f(x+1)=f(-x+1)--1式（这个公式是可以推出来的,书上应该有写.）
又f(x)是奇函数,所以可将1式变形为f(x+1)=f(-(x-1))=-f(x-1)--2式（原始公式f(x)=-f(-x))
再用x+1替换x,将2式变形为f(x)=-f(x+2)--3式
再用x+2替换x,将3式变形为f(x+2)=-f(x+4)--4式
3,4式相加,消去f(x+2)这一项,可得f(x)-f(x+4)=0
即f(x)=f(x+4)
因此f(x)是周期为4的周期函数.
因为（2009-1）/4=502,所以f(1)=f(2009)=2009