设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(x-c)=f(x+c),且EX存在,证明EX=c

题目

设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(x-c)=f(x+c),且EX存在,证明EX=c
设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(c-x)=f(c+x),且EX存在,证明EX=c

答案

EX=在区间(-无穷大,+无穷大)积分xf(x)dx,换元:u=x-c,du=dx 有=在区间(-无穷大,+无穷大)积分(u+c)f(u+c)du,=在区间(-无穷大,+无穷大)积分[uf(u+c) +cf(u+c)]du容易知道:f(u)=uf(u+c)为奇函数:g(-u)=-uf(-u+c)= -uf(u+...

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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英语翻译

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