已知P（3，5）为圆x2+y2=10y内一点，则过点P的弦长的范围是_．

题目

已知P（3，5）为圆x²+y²=10y内一点，则过点P的弦长的范围是______．

答案

将圆x²+y²=10y化成标准方程，得x²+（y-5）²=25．
∴圆心为C（0，5），半径r=5．
由两点的距离公式，算出P、C两点的距离为|PC|=

(0−3)2+(5−5)2

=3．
由圆的性质，可得当经过点P的弦与CP垂直时，截得的弦长最短，
设最短的弦长为l，
根据垂径定理得l=2

r2−|PC|2

=2

25−9

=8，
又∵过点P的最长的弦是直径，得最长的弦长为2r=10，
∴过点P的弦长的取值范围是[8，10]．
故答案为：[8，10]

将圆化成标准方程，算出圆心为C（0，5），半径r=5．根据圆的性质可得经过点P且与CP垂直的弦长最短，经过点P的圆的直径为最长的弦．由此利用两点间的距离公式与垂径定理加以计算，可得弦长的取值范围．

本题考点：直线和圆的方程的应用；点与圆的位置关系．

考点点评：本题给出点P为圆内部一个定点，求经过点P的直线被圆截得弦长的取值范围．着重考查了圆的标准方程、圆的性质、直线与圆和点与圆的位置关系等知识，属于中档题．