设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为_.

设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为_.

题目
设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为______.
答案
因为当x>0时,有 (x2+1)f'(x)-2xf(x)<0恒成立,即[
f(x)
x2+1
]′<0恒成立,
所以y=
f(x)
x2+1
在(0,+∞)内单调递减.
因为f(-1)=0,
所以在(0,1)内恒有f(x)>0;在(1,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-1)内恒有f(x)>0;在(-1,0)内恒有f(x)<0.
即不等式f(x)>0的解集为:(-∞,-1)∪(0,1).
故答案为:(-∞,-1)∪(0,1).
首先根据商函数求导法则,把 (x2+1)f'(x)-2xf(x)<0,化为[
f(x)
x2+1
]′<0;然后利用导函数的正负性,可判断函数y=
f(x)
x2+1
在(0,+∞)内单调递减;再由f(-1)=0,易得f(x)在(0,+∞)内的正负性;最后结合奇函数的图象特征,可得f(x)在(-∞,0)内的正负性.则f(x)>0的解集即可求得.

奇偶性与单调性的综合.

本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系,同时考查了奇偶函数的图象特征,熟练掌握导数的运算法则是解题的关键,考查运算能力,属中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.