△ABC是等腰直角三角形,∟A=90°,BD平分∟ABC,交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于E,求证：BD=2CE

题目

△ABC是等腰直角三角形,∟A=90°,BD平分∟ABC,交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于E,求证：BD=2CE
△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD=2CE

答案

分别延长CE、BA交于点M
∵∠A=90°
∴∠ABD+∠ADB=90°（Rt△两锐角互余）
∵CE⊥BE
∴∠DCE+∠EDC=90°（Rt△两锐角互余）
∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等）
∴∠ABD=∠DCE（等角的余角相等）
在△ABD和△ACM中
∠ABD=∠DCE
AB=AC
∠BAC=∠MAC
∴△ABD≌△ACM(ASA)
∴BD=CM(全等三角形对应边相等)
∵CE⊥BE
∴∠BEM=∠BEC=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠MBE=∠CBE
在△BEM和△BEC中
∠MBE=∠CBE
BE=BE
∠BEM=∠BEC
∴△BEM≌△BEC(ASA)
∴CE=ME(全等三角形对应边相等)
∴CM=2CE
∴BD=2CE(等量代换)
以上为答案,