已知:如图,AD⊥CD,BC⊥CD,D、C分别为垂足,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,BC=DF.求证: (1)∠DAF=∠CFB; (2)EF=1/2AB.

已知:如图,AD⊥CD,BC⊥CD,D、C分别为垂足,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,BC=DF.求证: (1)∠DAF=∠CFB; (2)EF=1/2AB.

题目
已知:如图,AD⊥CD,BC⊥CD,D、C分别为垂足,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,BC=DF.求证:

(1)∠DAF=∠CFB;
(2)EF=
1
2
AB.
答案
证明:(1)EF垂直平分AB,
∴AF=BF,AE=BE.
∵AD⊥CD,BC⊥CD,
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ADF和Rt△FCB中
AF=FB
DF=CB

∴△ADF≌△FCB(HL),
∴∠DAF=∠CFB;
(2)∵∠D=90°,
∴∠DAF+∠DFA=90°,
∴∠CFB+∠DFA=90°,
∴∠AFB=90°.
∴△AFB是等腰直角三角形.
∵AE=BE,
∴EF=
1
2
AB.
(1)根据条件可以得出△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF=∠CFB;
(2)根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°,就可以得出△AFB是等腰直角三角形,由EF是AB的垂直平分线就可以得出EF=
1
2
AB.

全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

本题考查了直角三角形的性质的运用,垂直平分线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键、

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