以数列{an}的任意相邻的两项为坐标的点Pn(an,an+1)均在一次函数y=2x+k的图象上,数列{bn}满足条件:bn=an+1-an(b1不等于0）,求证{bn}是等比数列

题目

以数列{an}的任意相邻的两项为坐标的点Pn(an,an+1)均在一次函数y=2x+k的图象上,数列{bn}满足条件:bn=an+1-an(b1不等于0）,求证{bn}是等比数列

答案

证明：
因为Pn(an,a(n+1))均在一次函数y=2x+k的图象上
所以a(n+1)=2an+k
a(n+1)+k=2(an+k)
an=(a1+k)*[2^(n-1)]-k
a(n+1)=(a1+k)*[2^n]-k
所以bn=a(n+1)-an=[(a1+k)/2]*[2^n]
b(n+1)=[(a1+k)/2]*[2^(n+1)]
所以[b(n+1)]/[bn]=2
所以{bn}是等比数列