已知函数y=4x2-4ax+（a2-2a+2）在区间[0，2]上的最小值是3，求实数a的值．

题目

已知函数y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在区间[0，2]上的最小值是3，求实数a的值．

答案

函数=4x²-4ax+（a²-2a+2）的对称轴为x＝−

−4a

2×4

＝

1

2

a．
①当

a

2

∈[0，2]，即0≤a≤4，此时函数的最小值为抛物线的顶点纵坐标，
所以函数的最小值为y=-2a+2，由-2a+2=3，解得a=−

1

2

，此时不成立．
②当

a

2

＜0，即a＜0时，此时函数在[0，2]上单调递增，
所以最小值y=f（0）=a²-2a+2，
由a²-2a+2=3，即a²-2a-1=0，解得a=1-

2

．
③当

a

2

＞2，即a＞4时，此时函数在[0，2]上单调递减，
所以最小值y=f（2）=a²-10a+18，
由a²-10a+18=3，即a²-10a+15=0，解得a=5+

10

．
综上：a=1-

2

或a=5+

10

．

求出函数的对称轴，分别讨论对称轴与区间[0，2]的关系，求出函数的最小值，利用函数在区间[0，2]上的最小值是3，求a即可．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，通过讨论对称轴与区间之间的关系，求出函数的最小值是解决本题的关键．