当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是_．

题目

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是______．

答案

∵直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，
∴a（x+2）-x-y+1=0恒成立，
∴

x+2=0 -x-y+1=0

，
∴x=-2，y=3．
∴过定点P（-2，3），
设焦点在y轴上抛物线的方程为x²=my，
∵点P在该曲线上，
∴4=3m，
∴m=

4

3

．
∴抛物线的标准方程是x²=

4

3

y．
故答案为：是x²=

4

3

y．

依题意可求得定点P的坐标，从而设出抛物线的方程x²=my，代入计算求得m即可．

本题考点：抛物线的标准方程．

考点点评：本题考查直线过定点问题，考查抛物线的标准方程，求得定点P的坐标是关键，属于中档题．