过抛物线y的平方=8x上一点p(2,-4)与抛物线仅有一个公共点的直线有几条

题目

过抛物线y的平方=8x上一点p(2,-4)与抛物线仅有一个公共点的直线有几条

答案

解法一：令所求直线的方程为：y=kx+b,此直线过点（2,-4）,则-4=2k+b,b=-2k-4,
直线方程为 y=kx-2k-4 ,它与抛物线 y^2=8x 有且只有一个交点,
（kx-2k-4）^2=8x,整理得 kx^2-8x-16k-32=0,
(1)、 显然,当k=0时,x=-4,方程恒成立,此时,直线方程为 y= - 4;
(2)、当k不等于0时,一元二次方程 ky^2-8y-16k-32=0有且仅有一实根,
则（-8）^2-4k(-16k-32)=0,解得 k=-1,此时直线方程为 y=-x-2.
综上所述,符合要求的直线有2条,它们解析式分别是 y= - 4,y=-x-2.
解法二：(1)、平行于抛物线对称轴y=0,且过点（2,-4）的直线与该抛物线有且只有一个交点,
即y=-4.
(2)、抛物线的解析式为 y^2=8x,x=(y^2)/8 ,求导：x'=(1/8)*2y= y/4,
过点(2,-4)与抛物线相切的直线的斜率为-4/4=-1,
设过点（2,-4）且斜率为-1的直线方程为 y=-x+b,则有-4=-2+b,b=-2,
所以此切线方程为 y=-x-2.
综上所述,符合要求的直线有2条,它们解析式分别是 y= - 4,y=-x-2.