1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>ln((n+1)/2) (n>1)

1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>ln((n+1)/2) (n>1)

题目
1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>ln((n+1)/2) (n>1)
如题.
那个,我是高中生,好像没学过微积分....
好像证不出来,能写具体点吗?
答案
用微积分做
构造函数y=1/x
则上式表示(n-1)个小矩形面积的积,比如1/2代表区间[2,3]上以1/2为宽的小矩形
又y=1/x是[1,正无穷)上的凹函数
故上式>积分(n,1)dx/x=lnn(注意积分上限是n不是n-1)
又lnn-ln((n+1)/2)=ln[2n/(n+1)]
容易证明 当n>1时 2n/(n+1)>1
故ln[2n/(n+1)]>0
故上式>lnn>ln[(n+1)/2]
如果导数都没学过,那我就没办法了...
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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