已知:⊙O的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P和⊙O的两条切线,求这两条切线的夹角及切线长.

已知:⊙O的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P和⊙O的两条切线,求这两条切线的夹角及切线长.

题目
已知:⊙O的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P和⊙O的两条切线,求这两条切线的夹角及切线长.
答案
连接OE,则OE⊥PE,由切线长定理可知:PE=PF,∠EPF=2∠1,在Rt△POE中,OP=6,OE=3,
∴PE=
OP2OE2
=
6232
=3
3
cm,
sin∠1=
OE
OP
=
3
6
=
1
2

∴∠1=30°,
∴∠EPF=2∠1=60°.
故这两条切线的夹角为60°,切线长为3
3
cm.
根据切线长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角,可知PE=PF,∠EPF=2∠1;
由切线的性质知:OE⊥PE,故在Rt△PEO中,根据勾股定理可得PE的长,求出sin∠1=
OE
OP
的值可知∠1,根据∠EPF=2∠1可求出两条切线的夹角.

切线的性质;解直角三角形.

本题综合考查了切线的性质和解直角三角形的运算方法.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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