已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1). (Ⅰ)求实数a,b的值; (Ⅱ)若x∈[1,2]时,不等式f(x)≥mx2-x-2恒成立,求实数m的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1).
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)若x∈[1,2]时,不等式f(x)≥mx2-x-2恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意得:f′(x)=3x2+2ax+b,∴f′(−1)=4f(−1)=1,即3−2a+b=4−1+a−b+2=1,解得:a=b=-1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=x3-x2-x+2,∵f(x)≥mx2-x-2,x∈[1,2],∴m≤x3−x2+4x2,即m≤x+4x2-1,令...
(Ⅰ)由题意得
,解此方程组可得a,b;
(Ⅱ)分离出参数m后转化为求函数的最值,利用导数可判断函数单调性,由单调性可求最值;
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查利用导数研究函数的极值、最值,考查恒成立问题,考查转化为思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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