已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a、b∈R). (1)若a>0,求函数f(x)的单调区间; (2)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由; (3)若函数f(x)在[0,2
题目
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a、b∈R).
(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(2)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;
(3)若函数f(x)在[0,2]上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)≤-2.
答案
∵f(x)=-x
3+ax
2+b(a、b∈R)
∴f'(x)=-3x
2+2ax=-x(3x-2a).
(1)若a>0,令f'(x)=0得x
1=0,x
2=
,则
>0∴f(x)的单调增区间为:(0,
),单调递减区间为:(-∞,0),(
,+∞)
(2)若a=1,由(1)可得f(x)在
(0,)上单调递增,
则
x∈(0,)时,f(x)>f(0)=b
∴f(x)的图象不可能总在直线y=b的下方.
(3)若函数f(x)在[0,2]上是增函数,则x∈[0,2]时f'(x)=-3x
2+2ax≥0恒成立.
即
a≥=x对x∈[0,2]恒成立,
∴a≥3.
又f(2)=0,
∴-8+4a=b+0得b=8-4a,
∴f(1)=-1+a+b=7-3a≤-2.
(1)三次多项式函数的单调性问题,先求导,令f′(x)≥0和f′(x)≤0,解不等式即可.
(2)结合(1)问中函数的性质求解.
(3)由f(x)在[0,2]上是增函数可求出a的范围,x=2是方程f(x)=0的一个根,找出a和b的关系,可证.
函数单调性的性质.
本题考查函数单调性的判断及应用、分类讨论思想,综合性较强.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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