如图所示,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,F是CD的中点. (1)AC与AD相等吗?为什么? (2)AF与CD的位置关系如何?说明理由; (3)若P为AF上的一点,那么PC与PD相等吗?为什么?
题目
如图所示,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,F是CD的中点.
(1)AC与AD相等吗?为什么?
(2)AF与CD的位置关系如何?说明理由;
(3)若P为AF上的一点,那么PC与PD相等吗?为什么?
答案
(1)AC=AD.
理由:∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED,
∴AC=AD.
(2)AF⊥CD.
理由:由(1)知:△ACD是等腰三角形,又F是CD中点;
根据等腰三角形“三线合一”的性质知,AF⊥CD.
(3)PC=PD.
理由:由(2)知:AF⊥CD,且F是CD中点,即AF垂直平分CD;
根据线段垂直平分线上的点,到线段两端点的距离相等,即可得PC=PD.
(1)由已知条件:AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,可证得△ABC∽△AED,由此得AC=AD.
(2)由于△ACD是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的性质即可得到AF⊥CD.
(3)由(2)易知:AF垂直平分线段CD,即可根据线段垂直平分线的性质判定PC=PD.
全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质;熟练掌握并灵活应用性质是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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