设x>1,y>1,且2logxy-2logyx+3=0,求T=x2-4y2的最小值.
题目
设x>1,y>1,且2logxy-2logyx+3=0,求T=x2-4y2的最小值.
答案
令t=log
xy,∵x>1,y>1,∴t>0.
由2log
xy-2log
yx+3=0得
2t−+3=0,∴2t
2+3t-2=0,
∴(2t-1)(t+2)=0,∵t>0,
∴
t=,即
logxy=,∴
y=x,
∴T=x
2-4y
2=x
2-4x=(x-2)
2-4,
∵x>1,
∴当x=2时,T
min=-4.
应用换元法先解出logxy 的值,找出x和y的关系,从而求T=x2-4y2的最小值.
对数的运算性质;函数的最值及其几何意义.
本题考查还原的数学思想方法,及用配方法求二次函数最值.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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