系数含有未知数的非齐次方程组解的情况

题目

系数含有未知数的非齐次方程组解的情况
四个方程组分别是x1+x2+x3+x4=0,x2+2x3+2x4=1,-x2+(a-3)x3-2x4=b,3x1+2x2+x3+ax4=-1,问a,b为何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多解.请用矩阵的秩的知识解答

答案

方程组的增广矩阵进行初等变换
┌ 1 1 1 1 0 ┐ ┌ 1 1 1 1 0 ┐
│ 0 1 2 2 1 │→ │ 0 1 2 2 1 │
│ 0 -1 a-3 -2 b │ │ 0 0 a-1 0 b+1 │
└ 3 2 1 a -1 ┘ └ 0 0 0 1-a 0 ┘
∴当a≠1时,增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等（=4）,方程组有唯一解.
当a=1、b≠-1时,增广矩阵的秩(=3)>系数矩阵的秩（=2）,方程组无解.
当a=1、b=-1时,增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等（=2）