数分 求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截得线段最短

题目

数分 求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截得线段最短
求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截得线段最短

答案

对x^2/a^2+y^2/b^2＝1两边对x求导得
2x/a^2+2y*y'/b^2＝0,因此切线斜率是
y'=－b^2x/(a^2y).
切线方程为Y－y＝－b^2x/(a^2y)(X－x),
分别令X＝0和Y＝0解得切线与两个坐标轴的交点为
(0,b^2/y)和(a^2/x,0).
切线段程度的平方是
b^4/y^2+a^4/x^2＝a^2(b^2/(a^2－x^2)+a^2/x^2).
函数f(x)＝b^2/(a^2－x^2)+a^2/x^2,
f'(x)＝2b^2x/(a^2－x^2)^2－2a^2/x^3＝0,
注意到a^2－x^2>0,可解得x＝a根号(a/(a+b)).
对应的y＝b根号(b/(a+b)).
切线方程是Y＝－根号(b/a)x+根号(b(a+b)).