设m是不为零的整数,关于x的二次方程mx^2-(m-1)x＋1＝0有有理根,求m的值．

题目

设m是不为零的整数,关于x的二次方程mx^2-(m-1)x＋1＝0有有理根,求m的值．

答案

一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)^2-4m＝n^2,
其中n是非负整数,于是
m^2-6m+1=n^2,
所以 (m-3)^2-n^2=8,
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n,并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数,
所以m-3＋n与m-3-n同奇偶,所以
m=6,n=1
m=0,n=1(舍去）
所以,m=6,这时,方程得2个根为1/2,1/3
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