求证(cotα-cosα)/cotα×cosα= (cotα×cosα)/ (cotα-cosα)

题目

求证(cotα-cosα)/cotα×cosα= (cotα×cosα)/ (cotα-cosα)

答案

此题用反证法,假设(cotα-cosα)/cotα×cosα= (cotα×cosα)/ (cotα-cosα)成立,则
(cotα-cosα)*(cotα-cosα)=cotα*cosα*cotα*cosα
cot²α-cos²α=cot²α*cos²α
cos²α/sin²α-cos²α=cot²α*cos²α
(cos²α-sin²αcos²α)/sin²α=cot²α*cos²α
cos²α(1-sin²α)/sin²α=cot²α*cos²α
cos²αcos²α/sin²α=cot²α*cos²α
cot²α*cos²α=cot²α*cos²α
因为cot²α*cos²α=cot²α*cos²α明显成立,故反推之,原假设成立,即
(cotα-cosα)/cotα×cosα= (cotα×cosα)/ (cotα-cosα)
*这是乘号
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