已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的取值范围是( ) A.[94,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,94]
题目
已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式
+≥m恒成立的实数m的取值范围是( )
A.
[,+∞)B. [2,+∞)
C. (-∞,2]
D. (-∞,
]
答案
∵不等式
+≥m对两个正实数x,y恒成立,即(
+)
min≥m,
∵x+y=4,即
+=1,
又∵x>0,y>0,
∴
+=(
+)(
+)=
++
≥
2+
=1+
=
,
当且仅当
=
,即x=
,y=
时取“=”,
∴(
+)
min=
,
∴m≤
,
∴实数m的取值范围是(-∞,
].
故选:D.
将不等式恒成问题转化为求
+的最小值,利用“1”的代换的思想和基本不等式,即可求得
+的最小值,从而求得实数m的取值范围.
基本不等式在最值问题中的应用.
本题考查了基本不等式在最值问题中的应用.在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断.运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值,难点在于如何合理正确的构造出定值.涉及了不等式恒成立问题,对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解.属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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