已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若△APQ为等腰三角形，则AP的长度为_．

题目

已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若△APQ为等腰三角形，则AP的长度为______．

答案

分为两种情况：①点Q在AD上时，∠AQP是钝角，只有AQ=AP，即∠QAP=∠QPA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，∵BP⊥PQ，∴∠BPQ=90°，∴∠BAP=∠BPA，∴AB=BP，即BQ垂直平分AP，∴AE=EP，∵∠ABC=∠AEB，∠BA...

分为两种情况：①点Q在AD上时，∠AQP是钝角，只有AQ=AP，求出BQ垂直平分AP，证△ABE∽△ACB，得出

AB

AC

=

AE

AB

，求出AE即可；②点Q在DA延长线上，显然∠QAP是钝角，有AQ=AP，∠Q=∠APQ，求出CP=CB=4，即可求出AP=5-4=1．

本题考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查了矩形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，注意要进行分类讨论呀．