α,β是方程X-X-1=0的两个根,抛物线y=ax x+bx+c经过两点（α,β）和（β,α）且a+b+c=1求a,b,c的值

题目

α,β是方程X-X-1=0的两个根,抛物线y=ax x+bx+c经过两点（α,β）和（β,α）且a+b+c=1求a,b,c的值

答案

由题意可知
α+β=1
αβ=-1
所以α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=1+2=3,α-β≠0
β=aα^2+bα+c.(1)
α=aβ^2+bβ+c.(2)
a+b+c=1 .(3)
由（1）-（2）得
β-α=a(α^2-β^2)+b(α-β),即
-1=a（α+β）+b,即
a+b=-1.(4)
所以c=1-(a+b)=2
由（1）+（2）得
β+α=a(α^2+β^2)+b(α+β)+2c,即
1=3a+b+4.(5)
由（4）（5）得
a=-1、b=0
所以a=-1、b=0、c=2