在棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，E为底面BCD上一点，若E到三个侧面的距离分别为3，4，5，则以线段AE为直径的球的表面积为_．

题目

在棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，E为底面BCD上一点，若E到三个侧面的距离分别为3，4，5，则以线段AE为直径的球的表面积为______．

答案

根据题意：点E到三个侧面的垂线与侧棱AB，AC，AD围成一个棱长为3、4、5的长方体，
则其外接球的直径即为AE且为长方体的体对角线．
∴2r=

32+42+52

=5

2

∴r=

5 2

2

由球的表面积公式得：S=4πr²=50π
故答案为：50π．

根据题意，点E到三个侧面的垂线与侧棱AB，AC，AD围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以AE为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解．

本题考点：棱柱的结构特征；球的体积和表面积．

考点点评：本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系，解答的关键是构造法的应用．