已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且an+2=(2+cosnπ)(an-1)+3,n∈N*. (1)求通项公式an; (2)求数列的前n项的和Sn.
题目
已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且an+2=(2+cosnπ)(an-1)+3,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列的前n项的和Sn.
答案
(1)当n是奇数时,cosnπ=-1,
所以a
n+2=a
n+2,所以a
1,a
3,a
5,…,a
2n-1,…是首项为a
1=1,公差为2的等差数列,因此a
2n-1=2n-1.
当n为偶数时,cosnπ=1,所以a
n+2=3a
n,所以a
2,a
4,a
6,…,a
2n,…是首项为a
2=2,公比为3的等比数列,因此
a2n=2×3n−1.
综上
an=.
(2)由(1)得
S2n=(a1+a3+…+a2n−1)+(a2+a4+…+a2n)=3n+n2−1,
S2n−1=S2n−a2n=3n−1+n2−1,
所以
Sn=.
(1)讨论n的奇偶性,即可求通项公式an;
(2)根据等差数列和等比数列的前n项和公式,即可求数列的前n项的和Sn.
数列的求和.
本题主要考查数列的通项公式的求解以及数列求和的计算,考查学生的运算能力,本题注意要注意对n进行分类讨论.
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